Question

已知tan(α+

π

6

)=2+

3

，α∈(0，

π

2

)．
（I）求tanα的值；
（II）若f(x)=

2

sinxcosx+sinacos2x，求f(x)的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正切公式，将已知展开，解关于tanα的方程即可．
（II）将f（x）化简为f（x）=sin（2x+

π

4

），再结合正弦函数的周期及单调递增区间求解．

解答：解：（I）根据两角和的正切公式得tan(α+

π

6

)=

tanα+tan60°

1-tanα tan60°

=

tanα+ 3 3

1- 3 3 tanα

=2+ 

3

，α∈(0，

π

2

)，
整理并解得tanα=1
（Ⅱ）由（I）得α=45°，f(x)=

2

sinxcosx+sinacos2x=

2

2

sin2x+

2

2

cos2x=sin（2x+

π

4

）
∴T=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z 得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，∴单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）

点评：本题主要了考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的基本性质．