Question

20．已知点A（-3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且$|{DE}|=2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用A（-3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（-1，0），又因为|AM|=2，即可求圆M的方程；
（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且$|{DE}|=2\sqrt{3}$，分类讨论，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）已知点A（-3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，
则圆心M的坐标为（-1，0）．--------------------------（2分）
又因为|AM|=2，--------------------------（3分）
所以圆M的方程为（x+1）²+y²=4．-------------------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（-1，0），半径为2．
设N为DE中点，则MN⊥l，$|DN|\;=\;|EN|=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，-------------------------（5分）
则$|MN|\;=\sqrt{4-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$．--------------------------（6分）
当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；-------------------------（7分）
当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得$\frac{|k（-1）+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$--------------------------（8分）
解得$k=\frac{3}{4}$，--------------------------（9分）
故直线l的方程为$y=\frac{3}{4}x+2$，即3x-4y+8=0．--------------------------（10分）
综上，直线l的方程为x=0或3x-4y+8=0．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．