Question

【题目】如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，

（1）求证：BD∥平面EFG；
（2）若AD=CD，AB=CB，求证：AC⊥BD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，

∴FG∥BD，

又∵FG面EFG，BD面EFG．

∴BD∥面EFG．

（2）证明：取AC中点H，连结DH，BH，

在△ACD中，因为AD=CD，H是AC中点，所以DH⊥AC

同理可证，BH⊥AC

∵BH∩DH=H，

∴AC⊥平面BHD

∵BD平面BHD，

∴AC⊥BD．

【解析】（1）要证BD∥面EFG，只需通过E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，证明BD平行于面EFG内的直线FG，即可．（2）取AC中点H，连结DH，BH，只要证明AC⊥平面BHD，由线面垂直的性质可证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，以及对直线与平面平行的判定的理解，了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．