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    已知函数f（x）=
    x
    1+x
    ；
    （1）求f（2）与（
    1
    2
    ）f，f（3）与f（
    1
    3
    ）的值；
    （2）由第（1）小题的结果，你能发现f（x）与f（
    1
    x
    ）之间有什么关系？请证明你的发现；
    （3）练习第（2）小题的结论，求：
    f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（
    1
    2
    ）+f（
    1
    3
    ）+…+f（
    1
    2013
    ）+f（
    1
    2014
    ）的值．
    考点：函数的值
    专题：函数的性质及应用
    分析：（1）f（x）=
    x
    1+x
    ，易求f（2）与（
    1
    2
    ）f，f（3）与f（
    1
    3
    ）的值；
    （2）由（1）可知，f（x）+f（
    1
    x
    ）=1；由f（x）+f（
    1
    x
    ）=
    x
    1+x
    +
    1
    x
    1+
    1
    x
    即可证得结论成立；
    （3）由f（x）+f（
    1
    x
    ）=1即可求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（
    1
    2
    ）+f（
    1
    3
    ）+…+f（
    1
    2013
    ）+f（
    1
    2014
    ）的值．
    解答： 解：（1）∵f（x）=
    x
    1+x
    ，
    ∴f（2）=
    2
    3
    ，f（
    1
    2
    ）=
    1
    2
    1+
    1
    2
    =
    1
    3
    ，f（3）=
    3
    4
    ，f（
    1
    3
    ）=
    1
    4
    ；
    （2）由（1）可知，f（x）+f（
    1
    x
    ）=1．
    证明：∵f（x）=
    x
    1+x
    ，
    ∴f（x）+f（
    1
    x
    ）=
    x
    1+x
    +
    1
    x
    1+
    1
    x
    =
    x
    1+x
    +
    1
    1+x
    =
    1+x
    1+x
    =1．
    （3）由f（x）+f（
    1
    x
    ）=1得：
    f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（
    1
    2
    ）+f（
    1
    3
    ）+…+f（
    1
    2013
    ）+f（
    1
    2014
    ）
    =f（1）+[（f（2）+f（
    1
    2
    ））+（f（3）+f（
    1
    3
    ））+…+（f（2014）+f（
    1
    2014
    ））]
    =
    1
    2
    +2013=
    4027
    2
    ．
    点评：本题考查函数的求值，求得f（x）+f（
    1
    x
    ）=1是关键，考查推理、观察与运算能力，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）是以5为周期的奇函数，f（-3）=-4且cosα=
    1
    2
    ，则f（4cos2α）=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R上的恒不为0的函数y=f（x）满足f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），试证明：
    （1）f（0）=1及f（x1-x2）=
    f(x1)
    f(x2)
    ；
    （2）f（nx）=[f（x）]n（n∈N，n≥2）；
    （3）若x＞0时，f（x）＞1，则函数f（x）在R上是增函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（2，1），若向量λ
    a
    +
    b
    与向量
    c
    =（-3，3）垂直，则λ=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a∈R，设命题p：函数f（x）=ax是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    命题p：?x∈R，cos2x+sinx≥2m2-m-7；命题q：mx2+2x-1＞o的解集非空．若“p且q”是假命题，┐p也是假命题，则实数m的取值范围：
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．
    （1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
    （2）若对x＞0，有f′（x）≥x-
    4
    3
    成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．

    （Ⅰ）求f（x）的解析式及x0的值；
    （Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的单调区间；
    （Ⅲ）若f（x）=
    8
    5
    ，x∈（0，
    π
    3
    ），求cosx的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f（x）=8x-2-x+2的一个零点所在区间为（　　）
    A、（1，2）
    B、（2，3）
    C、（3，4）
    D、（4，5）

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