Question

（湖南省●2010年月考）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点.

（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小.
                                                       
                                                       

Answer 1

见解析

解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，

     所以BC⊥平面ACC₁A₁.连结AC₁，则BC⊥AC₁.                          
     由已知，侧面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC_1.                             
     又，所以AC₁⊥平面A₁BC.
因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连结AB₁，则点M是AB₁的中点.
又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁.  故MN⊥平面A₁BC.                                                         
     （Ⅱ）因为AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，连结BD，则∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角.                            
       设AC＝BC＝CC₁＝a，则，.                           
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD＝，                                    
所以∠C₁BD＝30º，故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30º.                   
解法二：（Ⅰ）据题意CA、CB、CC₁两两垂直，以C为原点，
CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间
直角坐标系，如图设AC＝BC＝CC₁＝a，则
，
， 
所以，，.
于是，，即MN⊥BA₁，MN⊥CA₁.
又，故MN⊥平面A₁BC.
（Ⅱ）因为MN⊥平面A₁BC，则为平面A₁BC的法向量，又，
则，所以.
     故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30º.