Question

已知数列{a_n}中各项为：12、1122、111222、
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积．
（2）求这个数列前n项之和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）观察规律，可得通项公式a_n=（10ⁿ-1）•10ⁿ+（10ⁿ-1）=（）（）
由幂的运算性质可知为整数，从而可得（）（）为整数．
（2）由（1）可知a_n=×10²ⁿ+×10ⁿ-，利用分组求和，分别利用等比数列、等差数列的求和公式即可
解答：解：（1）a_n=（10ⁿ-1）•10ⁿ+（10ⁿ-1）（2分）
=（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（）（）（4分）
记：A=，则A=为整数
∴a_n=A（A+1），得证（6分）
（2）∵a_n=10²ⁿ+10ⁿ-（8分）
S_n=（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+（10+10²+…+10ⁿ）-n
=（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）
点评：本题主要考查了给出数列的项归纳数列的通项公式，分组求和的方法的运用，等比数列的通项公式的基本应用，考查了归纳推理的能力．解决本题的关键是归纳数列的通项公式．