Question

已知在数列{a_n}中，，S_n是其前n项和，且S_n=n²a_n-n（n-1）．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令b_n=（n+1）（1-a_n），记数列{b_n}的前n项和为T_n．
①求证：当n≥2时，；
②）求证：当n≥2时，．

Answer 1

解：（1）由条件可得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1）
两边同除以n（n-1），得：
所以：数列成等差数列，且首项和公差均为（14分）
（2）由（1）可得：，，代入S_n=n²a_n-n（n-1）可得，所以，．（6分）
①当n≥2时，
平方则
叠加得∴
又
=∴（9分）
②当n=2时，即n=2时命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即
当n=k+1时，
=即n=k+1时命题也成立
综上，对于任意n≥2，（14分）
分析：（1）由题设知S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1），两边同除以n（n-1），得，由此能够证明数列是等差数列；
（2）由，代入S_n=n²a_n-n（n-1），得，故，．
①，，平方，
再由叠加法能够得到当n≥2时，；
②当n=2时，即n=2时命题成立，由数学归纳法能够证明对于任意n≥2，．
点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．