Question

【题目】已知函数，，是的导函数.

（1）若，求的值；

（2）设.①若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；②若函数在定义域上不单调，试判定的零点个数，并给出证明过程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②函数必有三个不同零点.见解析

【解析】

（1）由以及即可得到；

（2）①在上恒成立，即在上恒成立，设，只需求出的最小值即可；②由，知不可能对恒成立，即在定义域上不可能始终都为减函数.进一步可得，设，与有相同的零点，对进行分析即可.

（1）由，得，

因为，所以，

所以.

（2）①因为，所以的定义域为，

.

因为函数在定义域上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则，

当时，，则在上为减函数，

当时，，则在上为增函数，

所以在时恒成立，

所以.

②因为，

所以，则不可能对恒成立，

即在定义域上不可能始终都为减函数.

由①知函数在定义域上单调递增，

所以若函数在定义域上不是单调函数.

又因为，所以是函数一个零点.

令，得，

设，则与有相同的零点，

令，得.

因为，所以，

所以有两个不相等实数解，，

因为，，所以不妨设.

当时，，在为增函数，

当时，，在为减函数，

当时，， 在为增函数，

则，.

又因为时，，，

，，

又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点，

又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点，

又因为是函数一个零点.

综上函数必有三个不同零点.