Question

17．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[1，\frac{3}{2}）}\\{{2^{x-2}}+1，x∈[\frac{3}{2}，3）}\end{array}}$．若存在x₁，x₂，当1≤x₁＜x₂＜3时，f（x₁）=f（x₂），则$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范围是（$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 作函数f（x）的图象，结合图象可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$≤x₁＜$\frac{3}{2}$；化简$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$；从而求取值范围．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[1，\frac{3}{2}）}\\{{2^{x-2}}+1，x∈[\frac{3}{2}，3）}\end{array}}$的图象如下，

f（$\frac{3}{2}$）=${2}^{（\frac{3}{2}-2）}$+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故令x+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$得，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$；
故$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$≤x₁＜$\frac{3}{2}$；
又∵$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$；
$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2{x}_{1}}$≤$\frac{1}{2（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{4}{3}$＜1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$≤$\sqrt{2}$；
故答案为：（$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．