Question

已知函数f(x)=(

x-1

x+1

)2(x＞1)．
（1）求f^-1（x）的表达式；
（2）判断f^-1（x）的单调性；
（3）若对于区间[

1

4

，

1

2

]上的每一个x的值，不等式(1-

x

)f-1(x)＞m(m-

x

)恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=(

x-1

x+1

)2(x＞1)解x，交换x、y的位置，求出f^-1（x）的表达式；
（2）根据互为反函数的函数单调性相同，求f^-1（x）的单调性转化为求函数f（x）的单调性；
（3）把f^-1（x）的表达式代入不等式(1-

x

)f-1(x)＞m(m-

x

)中，整理转化为关于

x

的不等式恒成立，借助于一次函数的图象可得关于m的不等式组，求得m的取值范围．

解答：解：（1）由y=(

x-1

x+1

)2(x＞1)，得

x-1

x+1

=

y

，
即x-1=

y

(x+1)，于是x=

1+ y

1- y

．
又x＞1时，

x-1

x+1

=1-

2

x+1

∈（0，1），所以(

x-1

x+1

)2∈（0，1）．

f-1(x)=

1+ x

1- x

 (0＜x＜1)．
（2）由于

x-1

x+1

=1-

2

x+1

是（1，+∞）上的增函数，且

x-1

x+1

＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函数，
从而f^-1（x）是（0，1）上的增函数；
（3）（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

），亦即(1+m)

x

-m2+1＞0在区间[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

1 2 (1+m)-m2+1＞0 2 2 (1+m)-m2+1＞0.

解得-1＜m＜

3

2

．

点评：考查求反函数的方法，体现解方程的思想方法，注意互为反函数的定义域和值域及单调性之间的关系；不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题，体现了转化的思想方法，求函数的最值体现了数形结合的思想，属难题．