Question

已知函数f（x）满足：（1）对于任意的x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；（2）满足“对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，下列函数满足这些条件的函数是（　　）

• A、f（x）=lnx
• B、f（x）=x 

  1

  3

• C、f（x）=a^x（0＜a＜1）
• D、f（x）=a^x（a＞1）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得到函数f（x）在R上为减函数，故排除A，B，D，再进一步验证c是否成立，利用指数幂的性质即可得到C满足条件．

解答： 解：对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，
∴函数f（x）在R上为减函数，故排除A，B，D
∵对于任意的x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
对于C，f（x）=a^x，f（x₁+x₂）=a^{（x₁+x₂）}=a^x₁•a^x₂=f（x₁）•f（x₂），成立，
故选：C

点评：本题考查了函数的单调性和指数函数的性质，属于基础题