Question

12．有下列四个命题：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最大值是9；
p₃：直线ax+y+2a-1=0过定点（0，-l）；
p₄：由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为$\frac{1}{12}$
其中真命题是（　　）

• A． p₁，p₄
• B． p₁p₂
• C． p₂，p₄
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 p₁：取x=y=0，即可判断出正误；
p₂：利用基本不等式的性质得出最小值，即可判断出正误；
p₃：直线ax+y+2a-1=0，化为a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解出即可判断出正误；
p₄：联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y={x}^{3}}\end{array}\right.$，解得（0，0），（1，1），由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-{x}^{3}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{4}{x}^{4}）{|}_{0}^{1}$，即可判断出正误．

解答 解：p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny，正确，例如：取x=y=0；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，当且仅当b=2a=$\frac{2}{3}$时取等号，因此其最小值是9，故不正确；
p₃：直线ax+y+2a-1=0，化为a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1，因此直线过定点（-2，l），故不正确；
p₄：联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y={x}^{3}}\end{array}\right.$，解得（0，0），（1，1），由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-{x}^{3}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{4}{x}^{4}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{12}$，正确．
综上可得：只有p₁，p₄正确．
故选：A．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、基本不等式的性质、直线系的应用、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．