Question

如图，一直角梯形ABCD，AB⊥AD，AD⊥DC，AB=2，BC=

3

，CD=1，E为AD中点，沿CE，BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使A，D重合，则三棱锥的体积等于（　　）

• A．

  3

  12

• B．

  1

  6

• C．

  6

  12

• D．

  6

  6

Answer 1

分析：由平面图象中的垂直关系找到几何体中的线面垂直关系，再分别求底面积和高即可求体积

解答：解：在直角梯形ABCD中，过点C作CF⊥AB，则四边形AFCD是正方形，则在直角三角形BCF中BF=1，BC=

3

，则CF=AD=

2

，则AE=

2

2

∵四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC
∴在三棱锥E-ABC中，AE⊥AC，AE⊥AB
又∵AC∩AB=A，且AC?面ABC，AB?面ABC
∴AE⊥面ABC
又底面△ABC中AC=1，AB=2，BC=

3

，满足AC²+BC²=AB²
则底面△ABC是直角三角形
∴底面△ABC的面积为S=

1

2

•AC•BC=

1

2

×1×

3

=

3

2

∴三棱锥的体积为V=

1

3

×AE×S=

1

3

×

2

2

×

3

2

=

6

12

故选C

点评：本题考查几何体的体积，同时考查了线面垂直的证明．求几何体的体积，常用的方法有直接法、割补法、等积转化法等．在翻折问题中要注意有些长度和垂直平行关系是不改变的，需注意条件的灵活应用．属简单题