Question

（2012•山西模拟）已知函数f（x）=-mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2]

B．（-∞，-1]

C．[-2，-1]

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）=-mx³+nx²，知f′（x）=-3mx²+2nx，故f′（-1）=-3m-2n，函数f（x）=-mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，知

-3m-2n=-3 m+n=2

，解得m=-1，n=3，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，由函数f（x）在[-2，0]上单调递减，能求出t的范围．

解答：解：∵f（x）=-mx³+nx²，
∴f′（x）=-3mx²+2nx，
∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函数f（x）=-mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，
∴

-3m-2n=-3 m+n=2

，解得m=-1，n=3，
∴f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，
∴函数f（x）在[-2，0]上单调递减，
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
∴

t≥-2 t+1≤0

，解得-2≤t≤-1．
故选C．

点评：本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程的应用，具体涉及到导数的几何意义、直线平行的条件、利用导数判断函数的单调等知识点，解题时要认真审题，仔细解答．