Question

13．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
科研费用x（百万元）	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
公司所获利润y（百万元）	1	1.5	2	2.5	3

（1）求y对x的回归直线方程；（参考数据：$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=16.3，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=18.5）
（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，计算可得
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（1+1.5+2+2.5+3）=2，
又$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$；…（4分）
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5×\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5×{{\bar x}^2}}}$=$\frac{18.5-5×1.8×2}{{16.3-5×{{1.8}^2}}}=5$；…（6分）
a=$\overline y$-b$\overline x$=2-5×1.8=-7，…（7分）
故所求的回归直线方程为$\widehat{y}$=5x-7；…（8分）
（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），
故可预测该公司所获得的利润为$\widehat{y}$=5×2.3-7=4.5（百万元）；…（9分）
答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元． …（10分）

点评 本题考查了求回归直线方程以及应用回归方程预测实际问题，是基础题目．