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    已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.

    (1)求圆C的圆心轨迹L的方程.

    (2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.

    (3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.

     

    (1) y=-1 (2) x2=4y (3) 存在 点B的坐标为(2,1)或(-2,1)，理由见解析

    【解析】(1)两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),

    由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.

    (2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.

    (3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y'=x,所以过点B的切线的斜率为k=x1,

    切线方程为y-y1=x1(x-x1).

    令x=0得y=-+y1,

    令y=0得x=-+x1.

    因为点B在x2=4y上,所以y1=,

    故y=-,x=x1,

    所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

    S=|x||y|=|x1||-|=||,

    所以||=,解得|x1|=2,

    所以x1=±2.

    当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).

     

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    (A)(x-)2+y2=5 (B)(x+)2+y2=5

    (C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5

     

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    (A)6 (B)4 (C)2 (D)1

     

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    (C)x+2y-5=0 (D)2x+y+5=0

     

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    (A)(4,0)(B)(0,4)

    (C)(4,-8)(D)(-4,8)

     

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