Question

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=

3

，BC=2，则二面角A-BC-D的大小为（　　）

• A、arccos

  3

  3

• B、arccos

  1

  3

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：由已知中三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=

3

，BC=2，取BC中点为E，连接AE、DE，易得到∠BED即为BCD和ABC所成二面角的平面角，解三角形DEA即可得到二面角A-BC-D的大小．

解答： 解：取BC中点为E，连接AE、DE，则BCD和ABC所成二面角即为求∠BED，
∵AB=AC=

3

，
∴△ABC为等腰三角形；
∵E为BC中点；
∴AE⊥BC，BE=

1

2

BC=1；
在直角△ABE中，由勾股定理得 AE²=AB²-BE²；
∴AE=

2

；
∵三个侧面和底面ABC全等；∴DE=AE=

2

；
∵△DBC≌△ABC；∴DB=AB=

3

；
又∵△ABC≌△BAD；
∴AD=BC=2；所以△ABE的三边AE=DE=

2

、AD=2； AE²+DE²=AD²；
所以AE⊥DE；∴∠DEA=

π

2

所以面BCD与面ABC所成二面角为

π

2

；
故选C

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中构造出∠BED即为BCD和ABC所成二面角的平面角，将二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．