Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB₁，DD₁上，且AF∥EC₁．
（1）求证：AE∥FC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是边长为的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC₁的长，并证明：AC⊥EC₁．

Answer 1

解：（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，
∴AA₁∥DD₁，AB∥CD…（1分）
∵DD₁、CD⊆平面CDD₁C₁，AA₁、AB?平面平面CDD₁C₁，
∴AA₁∥平面CDD₁C₁，AB∥平面CDD₁C₁，…（3分）
∵AA₁、AB⊆平面AA₁B₁B，且AA₁∩AB=A，
∴平面AA₁B₁B∥平面CDD₁C₁，…（4分）
∵AF∥EC₁，∴A、E、C₁、F四点共面．…（5分）
∵平面AEC₁F∩平面AA₁B₁B=AE，平面AEC₁F∩平面CDD₁C₁=FC₁，
∴AE∥FC₁；…（7分）
（2）设连接AC、BD，交于O点．连接AC₁、EF，交于点O₁，连接O₁O
∵四边形ABCD，四边形AEC₁F都是平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，O₁为AC₁、EF的中点．…（8分）
∵BE∥DF，∴O₁O=C₁C=（BE+EF）．
∵BE=1，DF=2，∴CC₁=3…（10分）
∵AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是正方形，
∴△ACC₁，△ABE，△ADF均为直角三角形，得
AC²=-=2AE²-=12-9=3，AB²=AE²-BE²=6-1=5
BC²=AD²=AD²-DF²=6-4=2
∴AC²+BC²=5=AB²，可得AC⊥BC．…（12分）
∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁．
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线
∴AC⊥平面BB₁C₁C …（13分）
∵EC₁⊆平面BB₁C₁C
∴AC⊥EC₁ …（14分）
分析：（1）根据四棱柱的底面ABCD是平行四边形，得四棱柱为平行六面体，可得平面AA₁B₁B∥平面CDD₁C₁，再根据面面平行的性质定理，可证出AE∥FC₁；
（2）设连接AC、BD，交于O点．连接AC₁、EF，交于点O₁，连接O₁O．利用△ACC₁与梯形BEFD有公共的中位线，得C₁C=BD+EF=3．分别在Rt△ACC₁、Rt△ABE和Rt△ADF中，用勾股定理加以计算，得AC²+BC²=5=AB²，可得AC⊥BC，结合AC⊥BB₁，得AC⊥平面BB₁C₁C，从而证出AC⊥EC₁．
点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．