Question

17．已知圆C的圆心C为（-3，4），且圆C与y轴相交于A、B两点，$|AB|=2\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C上，且直线MN与圆D：x²+y²=2相切，试求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）过圆心C（-3，4），求出k，直线y=k（x-1）过圆心C（-3，4），设直线MN的方程为y=x+b，利用直线MN与圆x²+y²=2相切，求出b，即可求直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的半径为r，
因为圆C的圆心C为（-3，4），则C到y轴的距离d=3
所以${r^2}={（\frac{|AB|}{2}）^2}+{d^2}=7+9=16$，r=4
所以圆C的标准方程为（x+3）²+（y-4）²=16…（5分）
（Ⅱ）因为关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C上
所以直线y=k（x-1）过圆心C（-3，4），
所以k=-1…（8分）
设直线MN的方程为y=x+b
因为直线MN与圆x²+y²=2相切
故有$\frac{|b|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
解得b=±2，…（12分）
经检验，直线MN的方程为y=x+2…（14分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．