Question

给出下列命题：
①直线l的方向向量为

a

=（1，-1，2），直线m的方向向量为

b

=（2，1，-

1

2

）则l⊥m
②直线l的方向向量为

a

=（0，1，-1），平面α的法向量为

n

=（1，-1，-1），l?α则l⊥α．
③平面α，β的法向量分别为

n1

=（0，1，3），

n2

=（1，0，2），则α∥β．
④平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量

n

=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的序号是（　　）

A．②③

B．①④

C．③④

D．①②

Answer 1

分析：①求数量积

a

•

b

，利用数量积进行判断．②求数量积

a

•

n

，利用数量积进行判断．③求利用

n1

与

n2

的关系进行判断．④利用法向量的定义判断．

解答：解：①

a

?

b

=1×2-1×1-

1

2

×2=2-1-1=0，所以

a

⊥

b

，即l⊥m，所以①正确．
②

a

?

n

=0-1×1+(-1)?(-1)=0，所以

a

⊥

n

，所以l∥α，所以②错误．
③因为

n1

?

n2

=6≠0，且

n1

≠x

n2

，所以α与β是相交的．所以③错误．
④因为

n

=（1，u，t）是平面α的法向量，A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），所以

AB

=(-1，1，1)，

AC

=(-2，2，1)．所以

n

?

AB

=0，

n

?

AC

=0，即

-1+u+t=0 -2+2u+t=0

，解得u=1，t=0，所以u+t=1．所以④正确．
故选B．

点评：本题主要考查空间向量的坐标运算以及利用空间向量的应用．