Question

12．设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N^*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N^*）元子集的所有元素的和为P_k．
（1）求P₁，P₂；
（2）求P₁+P₂+…+P_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的前n项和公式进行计算即可；
（2）求集合{1，2，…，n}的含连续整数的k元子集的个数时，可以先从n个数中任选两个连续的整数，然后在从剩下的n-2个整数中选取k-2个整数即可．

解答 解：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}，则P₁=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，
故P₂=（n-1）（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）（n-1）}{2}$；
（2）易得数集P的k（1≤k≤n，k∈N^*）元子集中，每个元素均出现${C}_{n-1}^{k-1}$次，
故P_k=${C}_{n-1}^{k-1}$•（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$${C}_{n-1}^{k-1}$，
则P₁+P₂+…+P_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$+${C}_{n-1}^{2}$+…+${C}_{n-1}^{k-1}$）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^n-1
=n（n+1）•2^n-2．

点评 本题主要考查了子集与真子集，属于中档题，解答此题的关键是首先求出集合{1，2，…，n}的k元子集的个数，然后再求出含有连续整数的k元子集的个数．