Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n+n²-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（Ⅲ）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁，可求a₁，再由a₂=S₂-S₁，a₃=S₃-S₂，可分别求出a₂，a_3．
（2）要证数列{a_n-2n+1}为等比数列，只需证它的后一项与前一项的比是常数即可．
（3）由（Ⅱ）可知数列{a_n-2n+1}为等比数列，求出数列{a_n}的通项公式，进而求前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n+n²-4n，
当n=1时，a₁=2a₁+1-4，可得a₁=3．a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-4（n+1）-2a_n-n²+4n，
可得a_n+1=2a_n-2n+3．
可得a₂=7，a₃=13．　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n-2n+3可得，

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-2n+3-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-4n+2

an-2n+1

=2．
又a₁-2×1+1=2．
所以数列{a_n-2n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．　　
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，a_n-2n+1=2ⁿ．
所以a_n=2n-1+2ⁿ．
又S_n=2a_n+n²-4n，
可得S_n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

点评：本题考查了等比数列的证明，并根据数列通项公式求前n项和，属于常规题，掌握解法．