Question

3．已知函数y=2cosx（sinx-cosx），求函数的值域和最小正周期．

Answer 1

分析 两角和的正弦公式，二倍角公式，把函数y化为-sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，根据周期的定义和三角函数的范围即可求出．

解答 解：函数y=2sinx（sinx-cosx）=2sin²x-2sinxcosx=-sin2x-cos2x+1=-sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，故它的最小正周期等于T=$\frac{2π}{2}$π，
∵-1≤-sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴0≤-sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1≤2．
故它的值域为[0，2]．

点评 本题考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，把函数y化为-sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，是解题的关键．