Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）．若f（x）的图象过点M（

π

6

，1）及N（

2π

3

，-1），且f（x）在区间[

π

6

，

2π

3

]上时单调的．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象先向左平移t（t＞0）个单位，再向上平移一个单位后所得图象对应函数为g（x），若g（x）的图象恰好过原点，求t的取值构成的集合．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可求得周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π，求得ω的值，由f（x）的图象过点M（

π

6

，1），解得φ的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由题意先求得函数g（x）的解析式，由g（x）的图象过原点，可得sin（2t+

π

6

）=-1，从而可求得t的取值构成的集合．

解答： 解：（1）f（x）的周期是2（

2π

3

-

π

6

）=π，故可求得ω=2．
又f（x）的图象过点M（

π

6

，1），得2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，得φ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
又0＜φ＜π，得：φ=

π

6

，
所以可得：f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）由题意得g（x）=sin[2（x+t）+

π

6

]+1，
因g（x）的图象过原点，
所以sin（2t+

π

6

）=-1，得2t+

π

6

=2kπ+

3π

2

，
得t的取值集合是：{t|t=kπ+

2π

3

，k∈Z}．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基础题．