Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（﹣1，）在椭圆C上，且|PF2|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足3（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．

【解析】

（1）根据题意得①，②，③，由①②③组成方程组，解得，，进而得椭圆的方程．

（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程得关于的一元二次方程，结合韦达定理得，，从而得线段中点坐标，点的坐标，将其代入椭圆方程，可解得，进而得出直线的方程．

解：（1）因为点在椭圆上，且．

所以，①

，解得，②

又因为③

由①②③组成方程组，解得，，

所以椭圆的方程为：．

（2）由（1）可知，

设直线的方程为，，，，，

联立直线与椭圆的方程得，

得，则，

所以线段中点，，

所以，，

所以点的坐标为，，

将点坐标代入椭圆的方程，

解得，，

所以直线的方程为：或．