Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且

OP

⊥

OQ

．试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由e=

2

2

，可得

c

a

=

2

2

．由于过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

，可得

2b2

a

=

2

．又a²=b²+c²，联立解得即可．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，利用根与系数的关系及其

OP

⊥

OQ

?x₁x₂+y₁y₂=0，可得3m²-2k²-2=0，再利用点到直线的距离公式即可得出．当直线l的斜率不存在时，直接验证即可．

解答： 解 （Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∵过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

，
∴

2b2

a

=

2

，
联立

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1．
故椭圆的方程为

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2+2y2=2

化为（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•

2m2-2

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m²=

m2-2k2

1+2k2

．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=0，
即3m²-2k²-2=0，
∴m²=

2k2+2

3

．
设原点O到直线l的距离为d，
则d=

|m|

k2+1

═

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

．
当直线l的斜率不存在时，原点O到直线l的距离仍为

6

3

．
综上所述，点O到直线l的距离为定值

6

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．