Question

一个等比数列的前n项之和是2ⁿ-b，那么它的前n项的各项平方之和为（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

分析：设该等比数列为{a_n}，前n项和为S_n=2ⁿ-b，求出数列的前3项，利用等比数列的性质可得关于b的方程，解出b可求得a_n，易判断数列各项的平方仍构成等比数列，从而可求得答案．

解答：解：设该等比数列为{a_n}，前n项和为S_n=2ⁿ-b，
则a₁=2-b，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∴2²=（2-b）×4，解得b=1，
∴该数列的首项为1，公比为2，
∴an=2n-1，则an2=22n-2，
又

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4（常数），
∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴原等比数列的前n项的各项平方之和为：1²+2²+4²+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故选D．

点评：本题考查等比数列的前n项和、等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关通项公式、求和公式是解决问题的关键．