Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

1

2an+1

=

1

2an

+1（n∈N₊）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）设bn=

2n

an

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由条件可得

1

an+1

-

1

an

=2，从而可得数列{

1

an

}是等差数列；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和．

解答：（1）证明：∵

1

2an+1

=

1

2an

+1
∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a1=

1

2

∴数列{

1

an

}是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）知，

1

an

=2+2(n-1)=2n
∴bn=

2n

an

=2n•2ⁿ
∴T_n=2（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）①
∴2T_n=2[1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]②
①-②可得-T_n=2（2¹+2²+…+2ⁿ）-2n•2ⁿ⁺¹=-4+2ⁿ⁺²-2n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=4-2ⁿ⁺²+2n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．