已知A.B是抛物线x2=4y上两个动点.且直线AO与直线BO的倾斜角之和为π4.试证明直线AB过定点．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知A，B是抛物线x²=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为

，试证明直线AB过定点．

分析：设直线AB的方程为y=kx+m，代入x²=4y，利用韦达定理表示出A，B坐标的关系，结合直线AO与直线BO的倾斜角之和为

，
建立k，m关系，研究是否过定点．

解答：解：显然，直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+m，
代入x²=4y，得：x²-4kx-4m=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：

x1+x2=4k

x1x2=-4m

设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=

，
又tanα=

，tanβ=

，
所以，1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

4(x1+x2)

16-x1x2

16k

16+4m

4+m

．
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．

点评：本题要求学生能够掌握用代数方法解决几何问题的一般方法：研究直线AB过定点的问题就要通过直线AB的方程y=kx+m讨论问题，也就是要找到k与m的关系．为此，直线AB与抛物线交于不同的两个点及对于条件“直线AO与直线BO的倾斜角之和为

”进行必要的有效的代数化就成为解决本题的主要任务．

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C．x=

D．x=

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•

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•

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（1）设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l₁、l₂相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
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