Question

（选修4-2：矩阵与变换）曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵的作用下变换为曲线x²-2y²=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，所以

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，由此能够求出a和b的值．
（2）由detM=

.

1 2 0 1

.

=1×1-2×0=1≠0，知M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

，由此能求出M的逆矩阵M^-1．

解答：解：（1）设P（x，y）为曲线x²-2y²=1上任意一点，
P′（x′，y′）为曲线x²+4xy+2y²=1上与P对应的点，
则

1 a b 1

 

x′ y′

=

x y

，
即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，
代入（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1，
得（1-2b²）x^'2+（2a-4b）x′y′+（a²-2）y^'2=1，
∵方程x²+4xy+2y²=1，
∴

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，
解得a=2，b=0．
（2）∵detM=

.

1 2 0 1

.

=1×1-2×0=1≠0，
∴M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

．

点评：本题考查求实数a，b的值和求M的逆矩阵M^-1，是基础题．解题时要认真审题，注意矩阵变换性质的灵活运用．