Question

如图1，平面四边形ABCD中，A=

π

3

C=

π

2

，CB=CD=2，且AB=AD．把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A-BD-C的余弦值等于

3

3

对于图二，完成以下各小题：
（1）求AC的长；
（2）证明：AC⊥平面BCD；
（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点E，连接AE，CE，由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD，故∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，由此能求出AC．
（2）由AB=AD=BD=2

2

，得AC=BC=CD=2，AC²+BC²=AB²，AC²+CD²=AD²，故∠ACB=∠ACD=90°，由此能够证明AC⊥平面BCD．
（3）法一：由BD⊥平面ACE，BD?平面ABD，知平面ACE⊥平面ABD，由∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，能求出直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
法二：设点C到平面ABD的距离为h，由V_C-ABD=V_A-BCD，解得h=

2 3

3

，由此能求出直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

解答：解：（1）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，
得：AE⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴cos∠AEC=

3

3

．
在△ACE中，AE=

6

，CE=

2

，
AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠AEC
=6+2-2×

6

×

2

×

3

3

=4，
∴AC=2．
（2）由AB=AD=BD=2

2

，
得AC=BC=CD=2，AC²+BC²=AB²，AC²+CD²=AD²，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∴AC⊥BC，AC⊥CD，又BC∩CD=C，
∴AC⊥平面BCD．
（3）方法一：由（2）知BD⊥平面ACE，
BD?平面ABD，
∴平面ACE⊥平面ABD，
平面ACE∩平面ABD=AE，作CF⊥AE，交AE于F，
则CF⊥平面ABD，
∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，
∴sin∠CAF=sin∠CAE=

CE

AE

=

3

3

．
方法二：设点C到平面ABD的距离为h，
∵V_C-ABD=V_A-BCD，
∴

1

3

×

1

2

×2

2

×2

2

sin60°•h=

1

3

×

1

2

×2×2×2，
∴h=

2 3

3

，
于是AC与平面ABD所成角θ的正弦为sinθ=

h

AC

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．