Question

9．已知z是复数，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数，且复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第四象限．
（1）求复数z；
（2）试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设复数z=x+yi，代入z+2i，$\frac{z}{2-i}$化简后根据均为实数，列出关于x，y 的方程组解之；
（2）由（1）得到复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于0，虚部小于0，列出不等式组解之．

解答 解：（1）设z=x+yi，z+2i=x+（y+2）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x+yi}{2-i}=\frac{（x+yi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x-y+（x+2y）i}{5}$，
由z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数，得到$\left\{\begin{array}{l}{y+2=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得x=4，y=-2，
所以z=4-2i；
（2）由（1）得到复数（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+2（a-2）i在复平面上对应的点在第四象限．
所以$\left\{\begin{array}{l}{16-（a-2）^{2}＞0}\\{2（a-2）＜0}\end{array}\right.$解得-2＜a＜2，所以a的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查了复数的运算以及复数的几何意义；属于基础题．