Question

设平面内有n条直线（n≥3，n∈N^*），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）=

5

；当n≥3时，f（n）=

(n-2)(n+1)

2

．（用含n的数学表达式表示）

Answer 1

分析：（1）根据题意，作出图形，再加以观察可得4条直线有5个交点，所以f（4）=5；
（2）有n-1条直线时，交点的个数为f（n-1），再作第n条直线，由于第n条直线与原来的n-1条直线都不平行，所以第n条直线与这n-1条直线各有一个交点，得出n条直线时交点的个数为f（n）=f（n-1）+n-1，以此为公式进行累加，再用等差数列求和公式，可得f（n）的表达式．

解答：解：如图，4条直线有5个交点，所以f（4）=5，
当图中已有n-1条直线时，交点的个数为f（n-1）
在画第n条直线时，由于它要和原有的n-1条直线各有一个交点
所以交点的个数增加了n-1
得到规律：f（n）=f（n-1）+n-1    （n≥3）
接下来用此公式求解：
f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n-1）=f（n-2）+n-2
f（n）=f（n-1）+n-1
累加可得：f（n）=2+3+…+（n-2）+（n-1）
利用等差数列求和公式可得：f（n）=

(n-2)(n-1+2)

2

=

(n-2)(n+1)

2

故答案为5，

(n-2)(n+1)

2

点评：本题以一个数列模型为载体，考查了归纳推理的方法，属于中档题．归纳推理与类比推理都属于合情推理，是数学发现的常用推理过程．