Question

【题目】已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
（1）求双曲线C与其渐近线的方程；
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且 （O为坐标原点）．求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设双曲线C的方程为 ，半焦距为c，

则c=2， ，a=1，

所以b2=c2﹣a2=3，

故双曲线C的方程为 ．

双曲线C的渐近线方程为

（2）解：设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程 ，

可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0（*）

△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2是方程（*）的两个根，所以 ，

又由 ，可知x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得 ，

故﹣（t2+3）+t2+t2=0，解得 ，

所以直线l方程为

【解析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程 ，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．