Question

【题目】设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤ ﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）【解答】解： f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2，

∴f′（x）≥0，

∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．

（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，

∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，

∵f（ ）=（1+a） ﹣a= +a（ ﹣1），a＞1，

∴ ＞1， ﹣1＞0，即f（ ）＞0，

且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．

（3）证明：f′（x）=ex（x+1）2，

设点P（x0，y0）则f'（x）=ex0（x0+1）2，

∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，

∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，

∴x0=﹣1，

将x0=﹣1代入y=f（x）得y0= ．

∴ ，

∴ ，

要证m≤ ﹣1，即证（m+1）3≤a﹣ ，

需要证（m+1）3≤em（m+1）2，

即证m+1≤em，

因此构造函数g（m）=em﹣（m+1），

则g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0．

当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，

当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，

∴g（m）的最小值为g（0）=0，

∴g（m）=em﹣（m+1）≥0，

∴em≥m+1，

∴em（m+1）2≥（m+1）3，

即： ，

∴m≤ ．

【解析】（1）利用f′（x）≥0即可得它的单调增区间。
（2）利用零点存在定理f（a）f（b），即可找到零点。
（3）利用导数的几何意义，在某一点处对应的切线斜率。且切线与x轴平行，可得p点坐标和.同理可求M点处的切线。构造新的函数g（m），利用导数找到它的最值。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．