Question

设x₁、x₂∈R，规定运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求动点P（x，

a*x

）的轨迹c；
（Ⅱ）设P（x，y）是平面内任意一点，定义：d₁（p）=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d₂（p）=

1

2

(x-a)*(x-a)

，问在（Ⅰ）中的轨迹c上是否存在两点A₁、A₂，使之满足d₁（A_i）=

a

•d2(Ai）（i=1、2），若存在，求出a的范围．

Answer 1

分析：（I）由题中“*”运算的定义，得动点P（x，

a*x

）满足y=

a*x

=

2(a2+x2)

，得y²=2（a²+x²），化简即得所求轨迹c是焦点在y轴上的双曲线，在第一象限内的一部分；
（II）根据题意，化简得d1(p)=

x2+y2

且d₂（p）=|x-a|，假设存在两点A₁、A₂满足题设的条件，y²=2（a²+x²）消去y得关于x的一元二次方程：（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0，此方程有两个非负的实数根．由此结合根的判别式与韦达定理，建立关于a的不等式组并解之，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵x1*x2=(x1+x2)2+(x1-x2)2=2(x12+x22)
∴当x≥0时，设P（x，y），则y=

a*x

=

2(a2+x2)

，
∴y²=2（a²+x²）（y＞0）化简得

y2

2a2

-

x2

a2

=1（x≥0，y＞0），
所求轨迹c是实半轴长为

2

a、虚半轴长为a，焦点在y轴上的双曲线，
在第一象限内的一部分（包括上顶点(0，

2

a)）…6′
（Ⅱ）d1(p)=

1

2

(x*x)+(y*y)

=

x2+y2

，d2(p)=

1

2

(x-a)*(x-a)

=|x-a|．
假设存在两点A₁、A₂，使得d1(Ai)=

a

•d2(Ai)（i=1、2），即

x2+y2

=

a

•|x-a|．
∴x²+y²=a•（x-a）²，
又∵y²=2（a²+x²），∴x²+2（a²+x²）=a•（x-a）²，
即（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0有两非负实数根．…10′
∴

△=4a4-4(a-3)•a2•(a-2)＞0 x1+x2= 2a2 a-3 ＞0 x1•x2= a2(a-2) a-3 ≥0

?a＞3
故当a＞3时，存在适合条件的两点．…13′．

点评：本题给出新定义，求动点的轨迹方程并依此讨论满足指定条件的点的存在性．着重考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式和圆锥曲线的定义与性质等知识，属于中档题．