Question

6．函数f（x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的单调区间和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）求函数的导数，利用导数即可求f（x）的单调区间，利用基本不等式即可求出函数的最小值．

解答 解：（1）要使函数有意义，则x²≠0，
则x≠0，即f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）f（-x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1=f（x），
则函数f（x）为偶函数；
（3）函数的f（x）的导数f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2（{x}^{4}-1）}{{x}^{3}}$=$\frac{2（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-1）}{{x}^{3}}$
当x＞0时，由f′（x）＞0得x²-1＞0得x＞1或x＜-1，此时x＞1，
由f′（x）＜0得x²-1＜0得0＜x＜1，
当x＜0时，由f′（x）＞0得x²-1＜0得-1＜x＜0，
f′（x）＜0得x²-1＞0得x＞1或x＜-1，此时x＜-1，
即函数的单调递增区间为为（1，+∞），（-1，0），
函数的单调递减区间为（0，1），（-∞，-1），
∵f（x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$+1=2+1=3，
∴函数的最小值为3，当且仅当x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x=1或x=-1时取等号．

点评 本题主要考查函数的定义域，奇偶性和单调性，最值的考查，利用定义法和导数法是解决本题的关键．