【题目】如图,四边形是平行四边形,,,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
取AB中点O,推导出,,,从而平面ABCD,进而,再求出,从而平面AED,由此能证明平面平面AED;
过A作于点G,则即为直线AB与平面BED所成的角,由此能求出直线AB与平面BED所成角的正弦值;
3二面角的平面角与二面角的平面角互补,从而问题转化为求二面角的正弦值,过A作于点G,过A作于点H,则即为二面角的平面角,由此能求出二面角的正弦值.
(1)证明:取中点,
易知四边形是平行四边形,
则又,,
∴,
∴
又,,
∴,
∴
又,
∴平面,
∴
在中,由
得,
∴
∴,又,
∴面
又平面,
∴平面平面
(2)过作于点,
由(1)知平面,
则即为直线与平面所成的角
又
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为
(3)∵二面角的平面角与二面角的平面角互补,
∴问题转化为求二面角的正弦值
过作于点,过作于点,
由(1)知即切二面角的平面角
∵∴
又∴
∴二面角的正弦值为.
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【题目】如图所示,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.
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【题目】某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列叙述错误的的是_____________.
①甲只能承担第四项工作
②乙不能承担第二项工作
③丙可以不承担第三项工作
④丁可以承担第三项工作
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【题目】已知函数.
(1)直接写出的零点;
(2)在坐标系中,画出的示意图(注意要画在答题纸上)
(3)根据图象讨论关于的方程的解的个数:
(4)若方程,有四个不同的根、、、直接写出这四个根的和;
(5)若函数在区间上既有最大值又有最小值,直接写出a的取值范围.
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【题目】在含有个元素的集合中,若这个元素的一个排列(,,…,)满足,则称这个排列为集合的一个错位排列(例如:对于集合,排列是的一个错位排列;排列不是的一个错位排列).记集合的所有错位排列的个数为.
(1)直接写出,,,的值;
(2)当时,试用,表示,并说明理由;
(3)试用数学归纳法证明:为奇数.
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系.
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程的回归系数a,b;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
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