Question

如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=4米，AD=3米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于64平方米．
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．

Answer 1

分析：（1）由△NDC∽△NAM，可得

DN

NA

=

DC

AM

，可得AM=

4x

x-3

，得到S=AN•AM=

4x2

x-3

，令S＜64即可得到定义域；
（2）由（1），通过换元，利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由△NDC∽△NAM，可得

DN

NA

=

DC

AM

，
∴

x-3

x

=

4

AM

，即AM=

4x

x-3

，
故S=AN•AM=

4x2

x-3

，
由S=

4x2

x-3

＜64且x＞3，解得4＜x＜12，
故所求函数的解析式为S=

4x2

x-3

，定义域为（4，12）．
（2）令x-3=t，则由x∈（4，12），可得t∈（1，9），
故S=

4x2

x-3

=

4(t+3)2

t

=4(t+

9

t

+6)≥4(2

t• 9 t

+6)=48，
当且仅当t=

9

t

，即t=3时，即当x=6时，S取最小值48．
故当AN的长为6时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为48平方米．

点评：本题考查了相似三角形的性质、矩形的面积、基本不等式的性质，属于中档题．