Question

5．已知函数f（x）=lnx-x²与g（x）=（x-2）²+$\frac{1}{2（2-x）}$-m（m∈R）的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-ln2）
• B． （-∞，1-ln2]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可知f（x）=-g（2-x）有解，即m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围．

解答 解：∵数f（x）=lnx-x²与g（x）=（x-2）²+$\frac{1}{2（2-x）}$-m（m∈R）
的图象上存在关于（1，0）对称的点，
∴f（x）=-g（2-x）有解，
∴lnx-x²=-x²-$\frac{1}{2x}$+m，
∴m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，
m′=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，
∴函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴m≥ln$\frac{1}{2}$+1=1-ln2
故选D．

点评 本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，属于中档题．