Question

1．若函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（-3，1）．

Answer 1

分析 由题意知原函数在R上单调递增，且为奇函数，由f（mx-3）+f（x）＜0恒成立得mx-3＜-x⇒xm+x-3＜0，对所有m∈[-2，2]恒成立，然后构造函数f（m）=xm+x-2，利用该函数的单调性可解得x的范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，
即为f（x）=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
则函数在R上单调递增，
又f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f（x），
则为奇函数，
故f（mx-3）+f（x）＜0，
则f（mx-3）＜-f（x）=f（-x），
此时应有mx-3＜-x，
即xm+x-3＜0，对所有m∈[-2，2]恒成立，
令g（m）=xm+x-3，
此时只需$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-x-3＜0}\\{g（2）=3x-3＜0}\end{array}\right.$即可，
解之得-3＜x＜1，
则x的取值范围为（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解决不等式恒成立问题时注意变换主元的方法，是个中档题．