分析 由题意知原函数在R上单调递增,且为奇函数,由f(mx-3)+f(x)<0恒成立得mx-3<-x⇒xm+x-3<0,对所有m∈[-2,2]恒成立,然后构造函数f(m)=xm+x-2,利用该函数的单调性可解得x的范围.
解答 解:函数f(x)=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$,
即为f(x)=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$,
则函数在R上单调递增,
又f(-x)=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f(x),
则为奇函数,
故f(mx-3)+f(x)<0,
则f(mx-3)<-f(x)=f(-x),
此时应有mx-3<-x,
即xm+x-3<0,对所有m∈[-2,2]恒成立,
令g(m)=xm+x-3,
此时只需$\left\{\begin{array}{l}{g(-2)=-x-3<0}\\{g(2)=3x-3<0}\end{array}\right.$即可,
解之得-3<x<1,
则x的取值范围为(-3,1).
故答案为:(-3,1).
点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,在解决不等式恒成立问题时注意变换主元的方法,是个中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | f(x)的图象过点(0,$\frac{1}{2}$) | |
B. | f(x)在[$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]上是减函数 | |
C. | f(x)的一个对称中心是($\frac{5π}{12}$,0) | |
D. | 将f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=3sinωx的图象 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C. | -$\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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