【题目】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3﹣x2=2.(12分)
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1 , 1),P2(x2 , 2)…Pn+1(xn+1 , n+1)得到折线P1 P2…Pn+1 , 求由该折线与直线y=0,x=x1 , x=xn+1所围成的区域的面积Tn .
【答案】解:(I)设数列{xn}的公比为q,则q>0,
由题意得 ,
两式相比得: ,解得q=2或q=﹣ (舍),
∴x1=1,
∴xn=2n﹣1 .
(II)过P1 , P2 , P3 , …,Pn向x轴作垂线,垂足为Q1 , Q2 , Q3 , …,Qn ,
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn ,
则bn= =(2n+1)×2n﹣2 ,
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+(2n+1)×2n﹣2 , ①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n﹣1 , ②
①﹣②得:﹣Tn= +(2+22+…+2n﹣1)﹣(2n+1)×2n﹣1
= + ﹣(2n+1)×2n﹣1=﹣ +(1﹣2n)×2n﹣1 .
∴Tn= .
【解析】(I)列方程组求出首项和公比即可得出通项公式;
(II)从各点向x轴作垂线,求出梯形的面积的通项公式,利用错位相减法求和即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式(及其变式)的相关知识,掌握通项公式:,以及对等比数列的前n项和公式的理解,了解前项和公式:.
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【题目】已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1﹣x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
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【题目】为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导,用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学,结果如下:
男 | 女 | |
需要 | 20 | 10 |
不需要 | 10 | 15 |
(Ⅰ)估计该校高二年级同学中,需要学校提供学法指导的同学的比例(用百分数表示,保留两位有效数字);
(Ⅱ)能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关?
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中,需要学校提供学法指导?说明理由.
附:
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【题目】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A
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【题目】若一条直线a与平面α内的一条直线b所成的角为30°,则下列说法正确的是( )
A. 直线a与平面α所成的角为30° B. 直线a与平面α所成的角大于30°
C. 直线a与平面α所成的角小于30° D. 直线a与平面α所成的角不超过30°
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【题目】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:直线MN∥平面BDH
(3)求异面直线MN与AG所成角的余弦值
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【题目】已知f(x)=ln(mx+1)﹣2(m≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若m>0,g(x)=f(x)+ 存在两个极值点x1 , x2 , 且g(x1)+g(x2)<0,求m的取值范围.
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【题目】如图,某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇,并且AB=30公里,AC=80公里,已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人,C镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在BC之间建一个码头D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1:2.
(1)求sin∠ABC的大小;
(2)设∠ADB=θ,试确定θ的大小,使得运输总成本最少.
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【题目】某公司过去五个月的广告费支出与销售额(单位:万元)之间有下列对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
40 | 60 | 50 | 70 |
工作人员不慎将表格中的第一个数据丢失.已知对呈线性相关关系,且回归方程为,则下列说法:①销售额与广告费支出正相关;②丢失的数据(表中处)为30;③该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加万元;④若该公司下月广告投入8万元,则销售
额为70万元.其中,正确说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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