Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求点A到平面PBD的距离的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

由题意，连接AC，BD交于点O，由于四边形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以OA、OB所在直线分别x轴，y轴，以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，D(0，-1，0)，P(

3

，0，2)，

DB

=(0，2，0)，

AP

=(0，0，2)（2分）
（Ⅰ）设平面PDB的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

DP

=(

3

，1，2)，

DB

=(0，2，0)
由

n1 • DP =0 n1 • DB =0

，得

3 x1+y1+2z1=0 2y1=0

，令z1=1，得

n1

=(-

2 3

3

，0，1)，

DA

=(

3

，1，0)
所以点A到平面PDB的距离d=

| n1 • DA |

| n1 |

=

2 21

7

（5分）
（Ⅱ）设平面ABP的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，

AP

=(0，0，2).

AB

=(-

3

，1，0)，
由

AP • n2 =0 AB • n2 =0

，得

2x2=0 - 3 x2+y2

=0，令y2=1，得

x2= 3 3 y2=1 z2=0

，∴

n2

=(

3

3

，1，0)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

7

7

，而所求的二面角与＜

n1

，

n2

＞互补，
所以二面角A-PB-D的余弦值为

7

7