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1.设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x|x=f(x),x∈R},B={x|x=f(f(x)),x∈R}
(1)证明:A⊆B;
(2)当A={-1,3}时,求集合B.

分析 (1)若x0∈A,则x0=f(x0),从而可得x0=f(f(x0))=f(x0),从而证明;
(2)由A={-1,3}知-1,3是方程x2+ax+b=x的解,从而可得a=-1,b=-3;从而化简x=f(f(x))得(x2-2x-3)(x2-3)=0,从而解得.

解答 解:(1)证明:若x0∈A,则x0=f(x0),
则x0=f(f(x0))=f(x0),
故x0∈B;
故A⊆B;
(2)∵A={x|x=f(x),x∈R}={-1,3},
∴-1,3是方程x2+ax+b=x的解,
即-1,3是x2+(a-1)x+b=0的解,
故-1+3=-(a-1),-3=b,
解得,a=-1,b=-3;
x=f(f(x))可化为(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,
即(x2-x-3)2-x2=0,
故(x2-2x-3)(x2-3)=0,
故x=-1或x=3或x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$.
故B={-1,3,$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$}.

点评 本题考查了集合子集的证明与集合的化简与证明,属于中档题.

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