Question

2．如图所示．∠AOB=∠BOC=120°，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，求，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由OA=OB，可得平行四边形OADB为菱形，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$．由∠AOB=120°，可得△OAD为等边三角形，可得三点C，O，D共线．由|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，可得$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，∵OA=OB，
∴平行四边形OADB为菱形，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$．
∵∠AOB=120°，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD=60°．
∵∠COA=120°，
∴∠COD=180°，即三点C，O，D共线．
∵|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，
∴$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的性质、三点共线、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题