Question

（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为，所以，椭圆C的方程是x²+=1. …………（4分）

    (Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)²+y²=．

由解得即两圆相切于点(1，0)．

因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）

事实上，点T(1，0)就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

记点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则…………（9分）

又因为=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

·=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件． …………（13分）