给出下列结论:动点M(x.y)分别到两定点连线的斜率之乘积为$\frac{16}{9}$.设M(x.y)的轨迹为曲线C.F1.F2.分别为曲线C的左.右焦点.则下列说法中:(1)曲线C的焦点坐标为F1.F2(5.0),(2)当x＜0时.△F1MF2的内切圆圆心在直线x=-3上,(3)若∠F1MF2=90°.则${S {△{F 1}M{F 2}}}$=32,.则|MA|+|MF2|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．给出下列结论：
动点M（x，y）分别到两定点（-3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为$\frac{16}{9}$，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F₁、F₂，分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法中：
（1）曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）当x＜0时，△F₁MF₂的内切圆圆心在直线x=-3上；
（3）若∠F₁MF₂=90°，则${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=32；
（4）设A（6，1），则|MA|+|MF₂|的最小值为2$\sqrt{2}$；
其中正确的序号是：①②．

分析（1），由曲线C的标准方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5；
（2）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，可得|F₂A|=8，|F₁A|=2，解得x_A，即可判断出；
（3），设|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，由m²+n²=10²，m-n=6，得mn即可；
（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF₁|-|MF₂|=2a=6，可得|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，当A、M、F₁三点共线时，|MA|+|MF₂|的最小值为|AF₁|-6．

解答解：由题意可得$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x+3}=\frac{16}{9}$，化为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≠±3）．
对于（1），由曲线C的标准方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5，∴曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0），正确；
对于（2）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，∴|F₂A|=8，|F₁A|=2，∴5-x_A=8，解得x_A=-3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=-3上，因此正确；
对于（3），设|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，∵∠F₁MF₂=90°，∴m²+n²=10²，m-n=6，
∴S${\;}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn=16，故错；
对于（4），不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF₁|-|MF₂|=2a=6，∴|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，当A、M、F₁三点共线时，|MA|+|MF₂|的最小值为|AF₁|-6=$\sqrt{122}$-6．因此不正确．
综上可得：正确命题的序号是（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．

点评本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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