Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的导函数为f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．数列{a_n}满足a₁=1，且当n≥2，n∈N^*时，a_n=n²[++…+]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n≥2且n∈N^*时，比较与的大小．
（3）比较（1+）（1+）（1+）L（1+）与4的大小．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax²+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x²．
（2）∵f（n）=n²，∴．，∴，，∴．
（3）由题意可得a₂=4；当n=1时，有．当n≥2且n∈N^*时，
（1+）（1+）（1+）L（1+）=4（）
所以，对任意n∈N^*有（1+）（1+）（1+）L（1+）＜4．
分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，从而f（x）=ax²+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，从而可求函数表达式；
（2）分别表示出分子、分母，进而可得；
（3）将连乘积表示为（1+）（1+）（1+）L（1+）=，再用裂项求和法，利用可得结论．
点评：本题考查数列与不等式的结合，考查裂项求和、放缩法，有一定的技巧．