Question

（理科做）已知圆O：x²+y²=4，点M（1，a）且a＞0．
（I ）若过点M有且只有一条直线l与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，
（II ）若a=

2

，过点M的两条弦AC、BD互相垂直，记圆心O到弦AC、BD的距离分别为d₁、d₂•
①证明d₁²+d₂²为定值；
②求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析：（1）本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（要求过点M的切线l的斜率，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．
（2）①设圆心O在AC上的射影为R，则d₁=|OR|，圆心O在BD上的射影为Q，d₂=|OQ|，又过点M的两条弦AC、BD互相垂直，故四边形OQMR为矩形，从而可证明d₁²+d₂²为定值；②由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由条件知点M（1，a）在圆O上，
∴1+a²=4，
∴a=±

3

．
∵a＞0，
∴a=

3

时，点M为（1，

3

），k_OM=

3

，k切线=-

3

3

，
（Ⅱ）①设圆心O在AC上的射影为R，则d₁=|OR|，圆心O在BD上的射影为Q，d₂=|OQ|，又过点M的两条弦AC、BD互相垂直，
∴四边形OQMR为矩形，
∴d₁²+d₂²=OM²=(

2

)2+1²=3（定值）．
②当AC的斜率为0或不存在时，可求得|AC|+|BD|=2（

2

+

3

），
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-

2

=k（x-1），
直线BD的方程为y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦长公式l=2

r2-d2

，
可得：|AC|=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

，
|BD|=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

，
∵|AC|²+|BD|²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20，
∴（|AC|+|BD|）²=|AC|²+|BD|²+2|AC|×|BD|≤2（|AC|²+|BD|²）=40，
故|AC|+|BD|≤2

10

．
即|AC|+|BD|的最大值为2

10

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查分类讨论思想与转化思想，难点在于“（|AC|+|BD|）²=|AC|²+|BD|²+2|AC|×|BD|≤2（|AC|²+|BD|²）”的思考与应用，属于难题．