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【题目】椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于点的周长为.

1)求椭圆的标准方程;

2)若.①当时,求直线的方程;

②证明是定值,并求出此定值.

【答案】1;(2)①;②证明见解析,.

【解析】

1)根据周长和焦点坐标可得到关于的方程组,解方程组求得,进而得到椭圆方程;

2)设直线,代入椭圆方程可得

①由可得,代入中,消去即可得到关于的方程,解方程求得,即可得到所求直线方程;

②利用焦半径公式可表示出,从而将所证明式子表示为,代入可化简得到定值为.

1的周长为 ,又

解得: 椭圆的标准方程为

2)设直线的方程为

代入并化简得:

则有

①当时,由可得:,则

消去得:,解得:

直线的方程为

②由题意得:

可得,代入上式得:

是定值,定值为

练习册系列答案
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【答案】

【解析】

设左焦点为,利用双曲线的定义,得到当三点共线时,三角形的周长取得最小值,并求得最小的周长.

设左焦点为,根据双曲线的定义可知,所以三角形的周长为,当三点共线时,取得最小值,三角形的周长取得最小值. ,故三角形周长的最小值为.

【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义,考查三角形周长最小值的求法,属于中档题.

型】填空
束】
16

【题目】已知分别是双曲线的左、右焦点,过点作垂直与轴的直线交双曲线于两点,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是_______

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